Question

不等式a^2+3b^2≥λb(a+b)对任意A,B恒成立，则λ的最大值

Answer 1

λ最大值是2
要使a^2+3b^2≥λb(a+b)对任意a,b恒成立，只要考虑b(a+b)>0的情形
这时候，上式恒成立，有λ<=[a^2+3b^2]/[b(a+b)]恒成立
于是只要λ<={[a^2+3b^2]/[b(a+b)]}min
注意到：b(a+b)=ab+b^2
而设参数u，由均值不等式：
ua^2+b^2/u>=2ab => ab<=(ua^2+b^2/u)/2
代入ab+b^2<=ua^2/2+(1/(2u)+1)b^2
所以[a^2+3b^2]/[b(a+b)]>=[(a^2+3b^2)]/[ua^2/2+(1/(2u)+1)b^2]
我们希望：
上式中对应项系数成比例，以得到常数，即：1/u=3/(1/(2u)+1)
解得u=-1/3(舍去)或u=1
而当u=1时，[(a^2+3b^2)]/[ua^2/2+(1/(2u)+1)b^2]=2
于是λ<=2
所以λ最大值为2