已知函数f(x)=x/lnx(x>0,x不等于1) 若不等式e^(x/a)>x对任意实数X恒成立，求实数a的取值范围
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对不等式e^(x/a)>x
两边取自然对数
ln[e^(x/a)]>lnx
x/a*lne>lnx
x/a>lnx
若a>0
则x/lnx>a
a<x/lnx=f(x)的最小值是不等式恒成立
将f(x)求导
f'(x)=(lnx-1)/(lnx)^2>0
lnx-1>0
lnx>1
x>e
所以f(x)在x=e处取得最小值
f(x)min=f(e)=e
a<e
又因为a>0
所以0<a<e
a<0时
a>x/lnx 因为f(x)在（e,正无穷）上单调递增，没有最大值，所以a>x/lnx不恒成立
所以a<0时无解
又因为a不等于0
所以综上所述0<a<e
两边取自然对数
ln[e^(x/a)]>lnx
x/a*lne>lnx
x/a>lnx
若a>0
则x/lnx>a
a<x/lnx=f(x)的最小值是不等式恒成立
将f(x)求导
f'(x)=(lnx-1)/(lnx)^2>0
lnx-1>0
lnx>1
x>e
所以f(x)在x=e处取得最小值
f(x)min=f(e)=e
a<e
又因为a>0
所以0<a<e
a<0时
a>x/lnx 因为f(x)在（e,正无穷）上单调递增，没有最大值，所以a>x/lnx不恒成立
所以a<0时无解
又因为a不等于0
所以综上所述0<a<e
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