Question

高中导数问题

已知函数f(x)=Inx,g(x)=ax2-x(a不等于0)
（1）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数a的值并求点P的坐标
（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M,N，求a的取值范围

Answer 1

(1)f '(x)=1/x,g'(x)=2ax-1.
设P（x‘，y'）
f '(x')=g'(x'),即1/x'=2ax'-1·····1
又f(x')=g(x'),即lnx'=ax'2-x'····2
由1,2解得x'=1，a=1,点P(1,0)
(2)g(x)=ax2-x=ax(x-1/a),与x轴交与（0,0），（1/a,0)
若a<0,函数开口向下，只可能与f(x)有一个交点，不满足条件
当a>0时，若两函数有且只有一个交点，则在该点必有相同的切线，由（1）知改点为P，a=1
则当1/a>1时，即0<a<1时，有两个交点