Question

请教一道高一数学题

已知平面向量a,b,(a不等于0,a不等于b),满足b的模等于1,且a与b-a的夹角为120度,则a的模的取值范围是?
要过程,谢谢~
练习册上答案为 (0，三分之二倍根号三]

Answer 1

做出三角形来  三边就是由 a 的模 b的模 b-a的模组成

因为a与b-a的夹角为120度

所以三角形 的a的模这边与b-a这边夹角为60度

又正弦定理得 b的模/sin60=a的模/sin角A

即 a的模=（2根号3/3)sin角A

而 角A 为三角形内角  其范围为0到120度 

所以sin角A的范围是大于0小于等于1

所以 a的模的范围是大于0小于等于三分之二倍根号三  如图

Answer 2

（1，+∞）

Answer 3

设向量b=(cosθ,sinθ)，向量a=(rcosφ,rsinφ)。其中r>0且r≠1，φ≠θ。b-a=(cosθ-rcosφ,sinθ-rsinφ)。
cos<a,b-a>=[a·(b-a)]/[|a||b-a|]=(a·b-a^2)/[|a||b-a|]=[cos(φ-θ)-r]/√[1+r^2-2rcos(φ-θ)]=-1/2，化简得：4[cos(φ-θ)]^2-6rcos(φ-θ)+3r^2-1=0。
上式是关于cos(φ-θ)的一元二次方程，在[-1,1)上有解。此方程的对称轴为3r/4，Δ=(6r)^2-16(3r^2-1)=16-12r^2。下面分类讨论：
i)当0<3r/4<1，即0<r<4/3时，Δ≥0，4(-1)^2-6r(-1)+3r^2-1≥0。解得：0<r≤2√3/3；
ii)当3r/4≥1，即r≥4/3时，Δ>0，4(-1)^2-6r(-1)+3r^2-1≥0。解得：0<r<2√3/3。舍去！
综合上述，0<r≤2√3/3。