Question

高中数学 命题

设函数f（x）=X+ln【x+根下（x方+1）】，则对于任意实数a，b ，a+b<0是f（a）+
f（b）<0的什么条件
劳驾，请给出证明思路

Answer 1

充要条件
充分性的证明：因为f(x)=x+ln[x+√(x²+1)]定义域为R，所以f(-x)=-x+ln[-x+√(x²+1)]
于是f(x)+f(-x)=ln[x+√(x²+1)]+ln[-x+√(x²+1)]=ln{[x+√(x²+1)][-x+√(x²+1)]}=ln{[√(x²+1)]²-x²}=ln1=0
所以f(x)为奇函数
另一方面，任取x,y∈R使x<y，有f(x)-f(y)=x+ln[x+√(x²+1)]-y-ln[y+√(y²+1)]=(x-y)+ln{[x+√(x²+1)]/[y+√(y²+1)]}
由于x<y,所以√(x²+1)<√(y²+1)，所以0<x+√(x²+1)<y+√(y²+1)，即ln{[x+√(x²+1)]/[y+√(y²+1)]}<0
x-y<0，所以f(x)-f(y)<0，即f(x)为增函数
因为a+b<0，所以a<-b，得f(a)<f(-b)，即f(a)<-f(b)，所以f(a)+f(b)<0
必要性的证明：（反证法）假设a+b≥0,即a≥-b
同充分性的证明可知f(x)为奇函数、增函数，所以f(a)≥f(-b)=-f(b)，得f(a)+f(b)≥0
这与f(a)+f(b)<0矛盾！
所以a+b＜0

Answer 2

充分