Question

高一数学 指数函数

已知9^x－10×3^x+9≤0，求函数y=(1/4)^(x－1)－4×(1/2)^x+2的最大值与最小值。

Answer 1

设t=3^x，则9^x－10×3^x+9≤0为：
t^2-10t+9≤0,1 ≤ t ≤ 9,则0≤ x ≤2.
y=(1/4)^(x－1)－4×(1/2)^x+2
设z=(1/2)^x,则y=4*z^2-4z+2
对称轴z=（-4）/(-2）*4=1/2，
0≤ x ≤2，1/4 ≤ z ≤1
当z=1/2时，最小值:y=4*（1/2）^2-4*(1/2）+2=1
当z=1时，最大值：y=4*1^2-4*1+2=2

Answer 2

设3^x=t
且9^x=3^(2x)=t^2
t^2-10t+9≤0
(t-9)(t-1)≤0
1≤t≤9
1≤3^x≤9
1≤x≤2
则
(1/4)^(x-1)=4[(1/4)^x]
=4[(1/2)^(2x)]
设p=(1/2)^x
因为1≤x≤2
所以1/4≤(1/2)^x≤1/2
即
1/4≤p≤1/2
函数
y=4p^2-4p+1+1
=(2p-1)^2+1
1/2≤2p≤1
-1/2≤2p-1≤0
0≤(2p-1)^2≤1/4
所以
y的最大值为1/4+1=5/4
最小值为0+1=1