Question

已知以原点为圆心的圆上任意一点的切线与椭圆恒有两个交点A、B，且AO垂直BO，求圆方程 ？

椭圆方程为mx^2y^2=1,其中m=1/4
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Answer 1

解：设圆：x^2+y^2=r^2
A(x1,y1),B(x2,y2),切线l:y=kx+m
l与椭圆联立得：
x^2+4(kx+m)^2=4
(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0
则：x1+x2=-8km/(1+4k^2)
x1x2=(4m^2-4)/(1+4k^2)

由于AO垂直BO
则向量OA*向量OB=0
即：x1x2+y1y2=0
x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0
(1+k^2)x1x2+mk(x1+x2)+m^2=0
化简得：m^2=4+4k^2 ---(1)

设l与圆切于P(x0,y0)
则用x0,y0表示l: x0x+y0y=r^2
即：y=(-x0/y0)x+r^2/y0
故：k=-x0/y0,m=r^2/y0
代入(1)得：
r^4=4(x0^2+y0^2) ---(2)
由于P(x0,y0)在圆x^2+y^2=r^2上
则：x0^2+y0^2=r^2
代入(2)得：r^4=4r^2
则：r^2=4
则圆的方程：x^2+y^2=4

Answer 2

条件1:为圆的切线,用点到线距离公式:原点到y=kx+b距离=r得1式条件2:与椭圆恒有两个交点A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,且AO垂直BO 这是直线与二次