Question

高一对数函数

设f(x)=lg[2/(1－x)+a]是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是多少？

Answer 1

f(-x)+f(x)=0
lg[2/(1-x)+a]+lg[2/(1+x)+a]=0
lg[2/(1-x)+a][2/(1+x)+a]=0
[2/(1-x)+a][2/(1+x)+a]=1
(2+a-ax)(2+a+ax)/(1-x)^2=1
(2+a-ax)(2+a+ax)=(1+x)(1-x)
这个恒成立
显然a=-1

f(x)=lg[(1+x)/(1-x)]<0=lg1
所以0<(1+x)/(1-x)<1

0<(1+x)/(1-x)
(x+1)(x-1)<0
-1<x<1

(1+x)/(1-x)<1
(1+x)/(1-x)-1<0
(1+x-1+x)/(1-x)<0
2x(x-1)>0
x<0,x>1

所以-1<x<0

Answer 2

因为f(x)为奇函数
f(x)=lg(2/(1-x)+a);
f(-x)=lg(2/(1+x)+a);
f(x)+F(-x)=lg(2/(1-x)+a)+lg(2/(1+x)+a);
所以
4/(1-x^2)+4a(1-x^2)+a^2=1
所以a=-1；
f(x)<0
有0<2/(1-x)-1<1
解得
-1<x<0