Question

高一反函数

已知函数y=f(x)的图像与函数y=a^x (a>0且a≠1）的图像关于直线y=x对称，记g(x)=f(x)·[f(x)+f(2)－1]。若y=g(x)在区间[1/2，2]上是增函数，则实数a的取值范围是多少？

Answer 1

f(x)=loga^x
g(x)=loga^x*[loga^x+2loga^2-1] (令loga^x=t)
=t*(t+2loga^2-1)
对称轴:t=1/2-loga^2

当a>1时,由1/2<x<2得,loga^(1/2)<t<loga^2
因为y= g(x)在区间〔1/2,2〕上是增函数
所以y=t*(t+2loga^2-1)在loga^(1/2)<t<loga^2上是增函数。
所以1/2-loga^2<=loga^(1/2),解得：a无解。

当0<a<1时，由1/2<x<2得,loga^2t<loga^（1/2）
因为y= g(x)在区间〔1/2,2〕上是增函数
所以y=t*(t+2loga^2-1)在loga^2<t<loga^（1/2）上是减函数。
所以1/2-loga^2>=loga^(1/2),解得：0<a<1

综上，0<a<1