Question

高中数学题 高分！！！详细过程

已知函数f(x)=x+a/x(a∈R),g(x)=lnx.
(1)求函数F(x)=f(x)+g(x)的单调区间
(2)若关于x的方程g(x)/x^2=f(x)-2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根，求a的值

Answer 1

解：注意到定义域x>0,F(x)=f(x)+g(x)=x+a/x+lnx,求导易得F'(x)=(x^2+x-a)/x^2,下面判断F'(x)符号,只需考察x^2+x-a符号,其判别式=1+4a,于是i)当a<=-1/4时，则有F'(x)>=0,x>0,且不恒为0,得F(x)单调增区间为(0,+无穷)，ii)当a>-1/4时，得其根x1,2=[(-1+-(1+4a)^0.5]/2,（其中0<x1<x2，负根得舍去）进一步讨论当-1/4<a<=0,注意到所解得的x1,x2均小于0,舍去，于是当x>0,恒有F'(x)>0,于是综合i)可得当a<=0,其单调增区间为(0,+无穷)；当a>0,得唯一实根x=x2>0,且当0<x<x2,F'(x)<0,x>x2,F'(x)>0,故当a>0其单减区间(0,x2)单增区为(x2,+无穷)。2）简单采用分离常a,并记h(x)=a。由已知得a/x+x-2e=(lnx)/x^2,(x>0),分离a易得：a=(lnx)/x-(x-e)^2+e^2=h(x),（问题便转化为直线y1=a与曲线y2=h(x)有一个交点即可）再令m(x)=lnx/x；n(x)=-(x-e)^2+e^2,则h(x)=m(x)+n(x),对m(x)求导得m'(x)=(1-lnx)/x^2,令m'(x)=0,得唯一驻点xo=e,于是当0<x<e,m'(x)>0,m(x)单增。当x>e，m'(x)<0,m(x)单减。知m(x)在x=e处取得极大值m(e)，且此极大值必为最大值得maxm(x)=m(e)=1/e。显然二次函数n(x)=-(x-e)^2+e^2，对称轴为x=e,开口向下，具有与m(x)完全一样的单调性，同在x=e处取得最大值maxn(x)=n(e)=e^2,又h'(x)=m'(x)+n'(x),显然h(x)在(0,e)上单增,在(e,+无穷单减。其最大值maxh(x)=h(e)=1/e+e^2,现在易得当y1=a与y2=h(x)图像有一个交点时得a=1/e+e^2，即为所求结果，完毕！（方便理解可作图用y1=a去截y2=h(x)的图，并注意到，当x趋于0和+无穷时limh(x)=-无穷。这里需用到洛毕达法则）

Answer 2

(1)F'(x)=(X²+X-a）/x²，∵X＞0.∴只需要讨论X²+X-a的正负，当a≤0时F'(x）≥0恒成立，当a＞0时解出X²+X-a的较大值x2，则（0，x2）单调减，（x2，+无穷）单调增
（2）只有一个实跟，等价于先把x²乘到等号右边，然后移到一边则h（x）=2x³-2ex²+ax-lnx于X轴只有一个交点，利用函数单调性做。
h'(x)=2x²-4ex+a-1/x通分然后把分母扔了=3x³-4ex²+ax-1
然后讨论三次函数的X＞0时的情况
给三次函数求导得：9x²-8ex+a，△＞0且a＜0，解得a＜0
楼上第一问就接错了。。x^2+x-a的定义域是X＞0，你用什么△啊。。这个二次函数的对称轴都已经确定x=-0.5，所以只需要看纵截距就行了。。第二问要使用洛毕达法则就不是高中数学了。。
第二问有点牵强，但是第一问楼上确实错了。 x^2+x-a是在＞0的基础上啊，你直接用△呢是不是把x的定义域扩充到一切实数了？

Answer 3

第一问求导，根据导数正负来算。
第二问我再想想先。

Answer 4

推荐二楼。人家在讨论了h(x)单调性和（极）最值后，是很容易得答案的，是不需作图的，522597089只是说方便作图，仅针对此问题是不用洛毕达法则的。他的第一问的讨论也是合理的。三楼tyhqx000第二问方法根本不可取，估计自已都没勇气算下去了，你所得的a<0,也很明显错误，有待提高。