Question

关于二次函数的问题

已知双曲线y=1/x与两直线y=1/4x,y=kx（k＞0，且k≠1/4）分别相交于点A,B,C,D
（1）求A,B,C,D四点的左边（其中C,D坐标用含k的代数式表示）
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形
（3）当k为何值时，四边形ABCD是矩形，若存在实数k,使得四边形ABCD为菱形，若存在，求出k值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

【解析】（1）联立两函数解析式，那么就很容易求出A、B的坐标。同样的方法，把CD的函数解析式y=kx中的k当做常数按照求A、B坐标的方法连理两解析式，就可以求出C、D的坐标
（2）连接AC、BD、AD、BC。由于反比例函数具有中心对称的性质（见后面的详解），AO=BO，DO=CO（这是可以直接用的）。根据平行四边形的判定得到ABCD为平行四边形。（如果不懂，就证明△ACO≌△BDO，条件：AO=BO，DO=CO，∠BOD=∠AOC）
（3）关于矩形肯定存在，要想四边形为矩形，只需使AO=BO=CO=DO，则可以看成AD与BC关于y=x对称，将C、D两点坐标求出即可求出其解析式了。
关于菱形就不存在了，要想使四边形为菱形，必须使AB⊥CD，而OA与x轴的夹角小于90°，则题中要求的直线在二四象限内，k＜0，不符合题意，则不存在。
【解答】（1）解：∵直线y=¼x与y=1/x交于A、B两点则有
y=¼x=x/4
y=1/x
解之得：x=±2
y=±½
∴A（2，1/2） B（-2，-1/2）
∵直线y=¼x与y=kx交于C、D两点则有
y=kx
y=1/x
解之得：x=±√k
y=±k√k
∴C（√k，k√k）D（-√k，-k√k）
（2）解：∵双曲线y=1/x关于原点成中心对称
∴CO=DO AO=BO
∵AB与CD交于O
∴ ∠BOD=∠AOC
∴四边形ABCD为平行四边形
或
在△ACO与△BDO中，
CO=DO
∠BOD=∠AOC
AO=BO
∴△ACO≌△BDO
∴∠ACO=∠BDO
∴四边形ABCD为平行四边形
（3）解：存在实数k使四边形ABCD是矩形，
不存在实数k使四边形ABCD是菱形，
证明如下：
证明：∵AO=BO=CO=DO时四边形ABCD是矩形
∴AD与BC关于y=x对称
∵A（2，1/2） B（-2，-1/2）
∴C（1/2，2） D（-1/2，-2）
设CD的函数解析式为y=kx则有：
2=1/2k 或 -2=-1/2k
解之得：k=4
∵AB⊥CD 时四边形ABCD是菱形
∴∠ACO=∠BDO=90°
∵OA与x轴的夹角小于90°，
∴直线在二四象限内，
∴k＜0，不符合题意，
则不存在。
【详解】关于反比例函数关于原点成中心对称：
将反比例函数图象（双曲线），绕原点旋转180°（顺时针还是逆时针都可以）
得到的新图像与原图像刚好重合，就此可以证明
反比例函数关于原点成中心对称的结论
希望有所帮助

Answer 2

首先，你题中所描述的ABCD和图中的ABCD对不上，根据图片上所表示，题中所有四边形应该都写成ACBD。

(1)由曲线与直线相交,联立方程组1如下
y=1/x
{
y=1/4*x
解得x=2，y=1/2或x=-2，y=-1/2
即坐标A(2，1/2)，B(-2，-1/2)
联立方程组2如下
y=1/x
{
y=kx
解得x=√k，y=k√k或 x=-√k，y=-k√k
即坐标C（√k，k√k），D（-√k，-k√k）

(2)证明：根据两点间距离公式易知
|AC|=|BD|，|AD|=|BC|
设AD斜率为K1，BC斜率为K2，BD斜率为K3，AC斜率为K4，由两点所在直线的斜率公式得
K1=K2，K3=K4
故AD//BC，BD//AC
所以上述条件符合平行四边形的定义：两组对边平行且相等的四边形为平行四边形。
故四边形ACBD为平行四边形。

(3)由于A(2，1/2)，B(-2，-1/2)，C（√k，k√k），D（-√k，-k√k）
只需AD斜率K1与BD斜率K3乘积为-1，则平行四边形ACBD为矩形，即
K1*K3=-1，将两点斜率公式代入，解得k=4
故k=4,时，四边形ACBD为平行四边形

若ACBD为菱形，则由于已经证明ACBD为平行四边形，只需AC=BC即可，即
|AC|²=|BC|²即
(2-√k)²+(1/2-k√k)²=(-2-√k)²+(-1/2-k√k)²，即
-4√k-k√k=4√k+k√k
解得k=0，这与题设k＞0矛盾，
故不存在这样的k，使得四边形ACBD为菱形。