Question

高中数学题,急!

函数f(x)=lnx-(x-1)/根号x,(1)求f(x)的单调性,(2)a>1时,证明lna/(a-1)<1/根号a
第二问是证明- -我也没答案...
证明:
lna 1
——<——
a-1 根号a

Answer 1

函数f(x)=lnx-(x-1)/√x,(1)求f(x)的单调性,(2)a>1时,证明lna/(a-1)<1/√a
解:（1）f′(x)=1/x-[√x-(x-1)/(2√x)]/x=1/x-(x+1)/(2x√x)=[2√x-(x+1)]/(2x√x)
=-(x-2√x+1)/(2x√x)=-[(√x)-1]²/(2x√x)≤0, (x>0,仅仅当x=1时等号成立）
故在区间（0，+∞）内函数单调减。
（2）∵a>1, ∴a-1>0, √a>0, 故原不等式等价于不等式：(√a)lna<a-1.
设f(a)=(√a)lna, g(a)=a-1
由于f(1)=g(1)=0,
而在区间（1，+∞）内，恒有：g′(a)=1,而f′(a)=(lna)/(2√a)+(√a)/a
=[(√a)lna+2√a]/2a=(√a)(lna+2)/2a=(lna+2)/2√a<1
即恒有 f′(a)<g′(a),故当a>1时,恒有f(a)<g(a).也就是原不等式成立.

Answer 2

用导数和基本不等式求F(X)的单调性,还未算出答案....
第二问是X=a 时吗？。。。没看懂题。。。