Question

计算曲面积分∫∫(z^2+x)dydz-zdxdy，其中S是旋转抛物面z=(x^2+y^2)/2介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧。

用第二类曲面积分做。

Answer 1

加个盖子S1：x+y≤4的上侧。

S1和S构成封闭曲面的外侧。

对S1+S应用GAUSS，有  ∫∫   (z^2+x)dydz-zdxdy  =  ∫∫∫  0 dv=0。

盖子S1的曲面积分中，dz=0,z=2,故 ∫∫   (z^2+x)dydz-zdxdy  = -2 ∫∫   dxdy =-8π。

 ∫∫   (z^2+x)dydz-zdxdy  = 0-(-8π)=8π。

面积分又称“曲面积分”。将积分域由平而块推）’一到曲而块的重积分。如果曲而块是无向的称为第一型曲而积分；如果曲而块是有向的称为第二型曲而积分。应用于数学、物理，流体力学等力一而。

Answer 2

加个盖子S1：x²+y²≤4的上侧.
S1和S构成封闭曲面的外侧.
对S1+S应用GAUSS，有
∫∫ (z^2+x)dydz-zdxdy = ∫∫∫ 0 dv=0.
S1+S Ω
盖子S1的曲面积分中，dz=0,z=2,故
∫∫ (z^2+x)dydz-zdxdy = -2 ∫∫ dxdy =-8π.
S1 Dxy
∫∫ (z^2+x)dydz-zdxdy = 0-(-8π)=8π.
S

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