Question

（高中）立体几何一道

已知OA为球 O的半径，过 OA的中点 M且垂直于 OA的平面截球面得到圆 M，若圆 M的面积为 3π，则球O的表面积为？

Answer 1

16∏ 由圆M的面积可得其直径为√3，OA为球的半径所以可得球的半径为2 球的表面积为16∏

Answer 2

】证明：易知，AC‖A1C1，又A1C1⊥BC1（已知）. ∴AC⊥BC1(两平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于该直线)
又∵AC⊥AB（已知）。而直线AB，BC1是同一平面ABC1内的两条相交直线。
∴AC⊥平面ABC1（垂直于同一平面内的两条相交直线的直线，必与该平面垂直）
】证明：∵AC⊥平面ABC1（已证），即AC是平面ABC1的垂线，又平面ABC过直线AC，
∴平面ABC1⊥平面ABC（过一个平面垂线的平面必与该平面垂直），显然，这两个垂直平面的交线是AB，
∴点C1在平面ABC内的射影H必在直线AB上。（点在平面内射影的定义与性质）
【详细一点的话，可以这样证明：∵点H是点C1在平面ABC内的射影，∴C1H⊥平面ABC。
过点C1作C1H′⊥AB于点H′，则C1H′⊥AC（∵AC是平面ABC1的垂线，而直线C1H′又在平面ABC1内，故此）∴C1H′⊥平面ABC（垂直于同一平面内两条相交直线的直线，必与该平面垂直）。∴C1H⊥平面ABC，同时，C1H′⊥平面ABC。∵过一点只能作一条直线与一个平面垂直，∴直线C1H，C1H′重合。而点H，H′均是平面ABC内的点，∴两点H，H′重合。故由作法可知，点H必在直线AB上】
】解：由柱的体积公式V=Sh(其中，S=3是底面面积，h是柱的高)可知，只要求出该柱的高h的最小值即可。易知，h=C1H。
连接CH。∴CH⊥C1H，易知，∠HCC1就是侧棱CC1与底面ABC的夹角，∴由题设可知
∠HCC1=60 º.在Rt⊿CHC1中，∠CHC1=90 º，∠HCC1=60 º，设CH=x,
一方面，易知，h=C1H=(√3)x。另一方面，在平面ABC内，x≥AC=2(垂线段最短)。
∴高h的最小值是2√3.
∴三棱柱体积Vmin=6√3.