Question

(a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3

拜托给出详细过程

Answer 1

他少写了一个a,其它的很perfect
(a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3
=[(a+b+c)^3-(b+c-a)^3]-[(c+a-b)^3+(a+b-c)^3]
=[(a+b+c)-(b+c-a)][(a+b+c)^2+(a+b+c)(b+c-a)+(b+c-a)^2]-[(c+a-b)+(a+b-c)][(c+a-b)^2-(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)^2]
=2a[2a^2+2b^2+2c^2+4bc+(b+c)^2-a^2]-2a[2a^2+2b^2+2c^2-4bc+(b-c)^2-a^2]
=2a(3b^2+3c^2+a^2+4bc)-2a(3b^2+3c^2+a^2-4bc)
=8abc+8abc
=16abc
此式abc轮换对称，不可能只有bc...嗯

Answer 2

(a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3
=[(a+b+c)^3-(b+c-a)^3]-[(c+a-b)^3+(a+b-c)^3]
=[(a+b+c)-(b+c-a)][(a+b+c)^2+(a+b+c)(b+c-a)+(b+c-a)^2]-[(c+a-b)+(a+b-c)][(c+a-b)^2-(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)^2]
=2a[2b(4c)+4bc]
=24abc

Answer 3

(a+b+c)^3-(b+c-a)^3-(c+a-b)^3-(a+b-c)^3
=[(a+b+c)^3-(b+c-a)^3]-[(c+a-b)^3+(a+b-c)^3]
=[(a+b+c)-(b+c-a)][(a+b+c)^2+(a+b+c)(b+c-a)+(b+c-a)^2]-[(c+a-b)+(a+b-c)][(c+a-b)^2-(c+a-b)(a+b-c)+(a+b-c)^2]
=2a[2a^2+2b^2+2c^2+4bc+(b+c)^2-a^2]-2a[2a^2+2b^2+2c^2-4bc+(b-c)^2-a^2]
=2a(3b^2+3c^2+a^2+4bc)-2a(3b^2+3c^2+a^2-4bc)
=8bc+8bc
=16bc.