Question

高一数学函数

设x1与x2分别是实系数方程ax^2+bx+c=0和－ax^2+bx+c=0的一个根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0，求证：方程(a/2)·x^2+bx+c=0有且仅有一根介于x1和x2之间。

Answer 1

证明：分别把x1，x2带入方程得：
ax1²+bx1+c=0,
-ax2²+bx2+c=0
即bx1+c=-ax1² ，bx2+c=ax2²
所以f(x1)f(x2)=（(a/2)x1²+bx1+c）·（(a/2)x2²+bx2+c）
=（(a/2)x1²- a x1²）·（(a/2)x1²+ax2²）
=（-3a²/4）·（x1 x2）²
因为a≠0，x1， x2≠0
即（-3a²/4）（x1 x2）²＜0
即f(x1)f(x2) ＜0
函数f(x)在两点x1， x2有：f(x1)f(x2)＜0
所以得出：f(x1) ＜0且f(x2)＞0 或f(x1) ＞0且f(x2) ＜0
可以得出函数f(x)在x1和x2之间，至少有一点交于X轴。
即可得出Δ=b²-2ac≥0
所以方程(a/2)x²+bx+c=0必有一根介于x1和x2之间