Question

已知函数F(x)=x＾2+1(x≥0), =1(x＜0), 则满足不等式f(1-x＾2)＞f(2x)的x的取值范围为?

我解的时候画了图 然后直接解1-x＾2＞2x 答案的解析说要分成1-x＾2和2x均大于零 和
1-x＾2大于零,2x 小于零的情况讨论 可是我不明白我的解法哪里出了问题 望高手指点啊

Answer 1

这道题确实需要讨论，而且要分为四段讨论，且分段结果得出不同
设g(x)=f(1-x^2)-f(2x)，则题目所要求g(x)>0时的定义域。
1、1-x^2>=0，2x>=0，得出0<=x<=1
g(x)=[(1-x^2)^2+1]-(4x^2+1)>0
最后解得x属于(0,(3-2(2)^(1/2))^(1/2))并((3+2(2)^(1/2))^(1/2),1)
2、1-x^2>=0,2x<0，得-1<=x<0
g(x)=[(1-x^2)^2+1]-1>0
解得g(x)=(1-x^2)^2>0
综合x属于[-1,0)
3、1-x^2<0,2x>=0，解得X>1
由于g(x)=1-(4x^2+1)=-4x^2不可能大于零，所以舍去。
4、1-x^2<0,2x<0，解得x<-1
由于g(x)=1-1=0不大于0，所以舍去。

PS：分段函数的关键在于必须考虑所有情况，因为不同情况下，代入的值是不同的，求的定义域也是不同的。
PS2：个人的建议，在录入题目时，注意F(x)和f(x)要统一，因为导数的表示也是f(x)，如果混淆会误导解答者认为是求导数。

Answer 2

先画出函数图像，在x<0是y=1的横线,x>0是单调增的抛物线右支
根据函数的单调性得：
第一种情况：都在y轴右侧，1-x^2 > 2x >=0 ,解得0<=x<根号2-1
第二种情况：一左一右: 2x<0且1-x^2>0,解得-1<x<0
综上-1<x<根号2-1

Answer 3

画图是对的，不过如果只是像你那么解的话，例如在自变量都小于0时，应变量F(x)都为1，它是不变的，不满足不等式，所以要分情况讨论。

Answer 4

如果1-x^2和2x都小于零，则f（1-x^2)和f(2x）都会等于1。

Answer 5

-1<x<√2-1