Question

已知函数f(x)对任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时，f(x)<0,f(1)=-2/3 求证f(x)在R上是减函数

Answer 1

x,y∈R总有f[x]+f[y]=f[x+y],……①

①式中，令x=x1,y=-x2, 可得:f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
∵x1-x2>0 ∴f(x1-x2)<0 即f(x1)+f(-x2)<0
又因函数是奇函数，所以f(x1)-f(x2)<0
从而可知f[x]在R上是减函数。

Answer 2

证明：
设y=1
∴f(x)-2/3=f(x+1)
∴f(x)>f(x+1)
又x<x+1
∴f(x)在R上是减函数