Question

数学高手请进

如图所示, 三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1垂直面ABC, BC垂直AC, BC=AC=2, AA1=3, D为AC中点,
(1)求证AB1平行面BDC1,
(2)求二面角C1-BD-C余弦值,
(3)在侧棱AA1上是否存在点P,使CP交於面BDC1? 证明你的结论.
有图片的, 但是不会插入

Answer 1

证明：（1）取A1C1中点为E，则有
B1E//BD，AE//C1D
∴面AB1E//面BDC1
又∵AB1在面AB1E内，
∴AB1//面BDC1
（2）∵BC⊥AC，BC⊥CC1
∴BC⊥面CC1D
∴⊿CC1D是⊿BC1D在面CC1D上的射影
易得BD=√5，BC1=√13，C1D=√10
cos∠BDC1=(5+10-13)/(2×√5×√10)=（√2)/10
∴sin∠BDC1=(7√2)/10
∴SΔBDC1=1/2×√5×√10×sin∠BDC1=7/2
易得SΔCDC1=1/2×1×3=3/2
令二面角C1-BD-C的度数为α
则cosα=(3/2)÷(7/2)=3/7
（3）感觉题目出错了，AA1上任取一点P，都能让CP与面BDC1相交啊。是不是求CP⊥面BDC1?
若是，只要CP⊥C1D就可以了。由⊿CAP∽⊿C1CD，可得CA/CC1=AP/CD，求得AP=2/3
所以，只要在AA1上取点P，且符合AP=2/3，就可以了。