Question

几个数学问题，请高手回答一下。

1. 1^2+2^2+3^2+4^2+……（N-1）^2=[(N-1)N(2N-1)]/6 是怎么证出来的？
2.1^2+2^2+3^2+4^2+……（N-1）^2+N^2=？
3.同样1^3+2^3+3^3+4^3+……（N-1）^3+N^3=？
4.那么1^m+2^m+3^m+4^m+……（N-1）^m+N^m=？

最好有步骤，要的是结果是表达式，不一定都要回答，主要是前三个，都回答出来我再加20分
^是次方的意思，例如2^2是2的平方，4^3是4的3次方

Answer 1

1、证明：当N=1时，上式成立；当N=2时，也成立；。。。当N=K时，上式也成立，即
1²+2²+3²+…+（K-1）²=K（K-1）（2K-1）/6
（假设当N=K+1时，上式也成立即可）
当N=K+1时，式子变为 1²+2²+3²+…+（K-1）²+K²=K（K-1）（2K-1）/6+K²
=[K（K-1）（2K-1）+6K²]/6
=K[（K-1）（2K-1）+6K]/6
=K（2K²-K-2K+1+6K）/6
=K（2K²+3K+1）/6
=K（K+1）（2K+1）/6
2、证明同上
当N=1时，上式成立；当N=2时，也成立；。。。当N=K时，上式也成立，即
1²+2²+3²+…+（K-1）²+K²=K（K+1）（2K+1）/6
当N=K+1时，式子变为1²+2²+3²+…+（K-1）²+K²+（K+1）²
=K（K+1）（2K+1）/6+（K+1）²
=K（K+1）（2K+1）/6+6（K+1）²/6
=（K+1）[K（2K+1）+6（K+1）]/6
=（K+1）[2K²+K+6K+1]/6
=（K+1）（2K²+7K+1]/6
=（K+1）（K+2）（2K+3）/6
3、证明：1³+2³=9=3²=（1+2）²
1³+2³+3³=36=6²=（1+2+3）²
1³+2³+3³+4³=100=10²=（1+2+3+4）²
…………………………………………
1³+2³+3³+4³+…+N³=（1+2+3+…+N）²=[（1+N）N/2]²=N²（1+N）²/4

Answer 2

^ 这是啥意思 你告诉我 我能给你推出来 不就是数列 集中典型例子嘛

Answer 3

不就是数列 集中典型例子嘛

Answer 4

那个是用高一次方相减证出来的,我就是听老师说过
比如1那中2次项加起来,就用2^3-1^3=....
然后全部叠加,有些项就是1那个式子,还有的可以用公式算出来
然后3那种就同理用4次方算,那个就很纠结了,是一样的叠加
我看你貌似1的式子写错了,2才等于1中的右边
最后那个M次方就要用M+1的次方相减叠加算
我是高3的学生,步骤就不写了,我们老师说过一次,就是这样搞出来的^-^