Question

19．设函数f（x）＝2ax－b／x＋lnx （1）若f（x）在x＝1，x＝1／2处取得极值，（i）求a，b的

值 （ii）在【1／4，,2】存在x0，使得不等式f（x0）－c≤0成立，求c最小值

Answer 1

解：
(1) 因为f（x）＝2ax－b／x＋lnx
所以f（x）’=2a+bx-2+x-1
当x=1/2时f（x）有极值
即2a+4b+2=0
a+2b=-1
同理当x=1时f（x）有极值
即2a+b=-1
解得a=b=-1/3
(2)根据函数关系式大概可画出下图（插不进图片。。）
在【1／4，2】要使
f（x0）－c≤0且c最小值，则只要比较f(1/2)和f(2)谁最小即可
f(1/2)=1/3+ln(1/2)
f (2) =-7/6+ln2
因为ln2=-ln(1/2)
f(1/2)-f(2)=9/6-2ln2 >0
所以在【1／4，2】，f(2)是极小值
c>=-7/6+ln2

Answer 2

第一步 先对f（x）求导 f ‘(X)=2a+b/(x2)+1/x
由题意得 f’（1）=f‘(0.5)=0
可求得a= --2/3 b=1/3
第二步 由题意得 就是求f（x）在【1/4,2】的最小值
f ‘（x）= --4/3+1/(3x2)+1/x
题目已经跟你说 最值点为1 0.5
当0.25<=x<=0.5 f(x)>0
当0.5<x<=1 f(x)<0
1<x<=2 f(x)<0

于是f（x）最小值在 0.25 或 2 出取得
再计算这两处的函数值 得出的最小值就是c的最小值