Question

椭圆C的中心在坐标轴原点O,焦点在y轴上,离心率为根号2/2,以短轴的一个端点与两焦点为顶点的三角形的面积为

椭圆C的中心在坐标轴原点O,焦点在y轴上,离心率为根号2/2,以短轴的一个端点与两焦点为顶点的三角形的面积为1/2.
（1） 求椭圆C 的方程
（2）喏过点P(0,m)存在直线L与椭圆C交于相异两点A,满足：向量AP=入向量PB且向量OA+入OB=4向量OP,求常数入的值和实数m的取值范围
要过程

Answer 1

椭圆上的点到焦点的最短距离就是长轴端点到对应焦点的长度.
由其等于1-e可知a=1
e=c/a c=√2/2
b^2=a^2-c^2 b^2=1/2
椭圆方程为
2X^2+Y^2=1
⑵
设A(X1,Y1) B(X2,Y2)
由向量AP=λ向量PB
-X1=λX2
m-Y1=λ(Y2-m)
由向量OA+λ向量OB=4向量OP
X1+λX2=0
Y1+λY2=4m
联立以上4式
λ=3
即 X1^2=9X2^2 Y1^2=(4m-3Y2)^2 ①
由椭圆方程
2X1^2+Y1^2=1 2X2^2+Y2^2=1
将①代入解得
2m^2-3mY2+1=0
Y2=(2m^2+1)/3m
由于Y2∈[-1,1]
(2m^2+1)/3m∈[-1,1]
解得
m∈[-1,-1/2]∪[1/2,1]

Answer 2

解：(1)设椭圆的方程为： ，
由题意知， ，且 ，
解得： ， ．
故椭圆C的方程为： ．
(2)由 得， ，
∴ ，
∴ ， ．
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为： ，
且与椭圆C的交点为 ， ，
由 得： ，
∴ ，
， ，
由 得 ，
∴ ， ，
消去 得： ，
即 ， ．
当 时，上式不成立， ，∴ ，
代入 ，即 ，得 恒成立，
即 ，解得 ，
∴ 或 ．
当直线 与 轴垂直时， 的方程为： 得 ．
综上所述： 的取值范围为 ．