Question

初三数学一个证明题

如图，E是矩形ABCD的边CB延长线上的一点，CE=CA，若F是AE的中点，求证BF⊥FD。

Answer 1

用向量的知识解。 解：以点B为坐标原点，分别以线段EC,BA所在的直线为x轴、y轴，建立直角坐标系。设BE为a，BC为b，BA为c. 得：B（0，0），D（b，c），F（-c/2，c/2）；向量BF=（-a/2，c/2），向量FD=（b+a/2，c/2）。根据题意得：aa+2ab=cc即cc/4-aa/4-ab/2=0 向量BF点乘向量FD=cc/4-ab/2-aa/4=0，所以，BF垂直于DF

Answer 2

连接CF，因为BF是三角形AEB的中线，所以BF=AF，
所以角FAB=角FBA,
所以角FAD=角FBC/
又因为AD=BC,
所以，三角形AFD全等于三角形BFC，
所以，角AFD=角BFC.
因为，CE=CA, 所以,CF垂直于AE, 即：角AFC=90度，
所以，角BFD=90度。即：BF垂直于FD.