Question

高二数学解析几何问题

急，完成后再送上二十分

Answer 1

1.N(0,p)
设lAB: y=kx+p
代入x^2=2py
x^2-2pkx-2p^2=0
|x1-x2|=2p√(k^2+2)
S△ANB=CN*|x1-x2|/2=2p^2*√(k^2+2)≥2√2*p^2(k=0时成立)
2.C(0,p)A(x1,y1)
由y1=kx1+p；x1^2=2py1二式得
k=(x1^2-2p^2)/2px1
AC中点设为M(x1/2,(p+y1)/2)
设直线为y=a
由闷笑圆内的几何关系可蚂灶含知，设弦长为s
M到直线距离为d=|a-(p+y1)/2|
(s/2)^2=(|AC|/2)^2-d^2
若s为定值 则证明(|AC|/2)^2-|a-(p+y1)/2|^2为定值
|AC|^2/4=x1^2/4+(y1-p)^2/4=(1+k^2)x1^2/4=x1^4/16p+(1-p)/x1^2/4+p^3/4
|a-(p+y1)/2|^2=a^2-a(p+y1)+(p+y1)^2/4=a^2-ap-a*x1^2/2p+(p^2+x1^2+x1^4/4p^4)/4=
|AC|^2/4-|a-(p+y1)/2|^2=(1/16p-1/16p^4)x1^4+(-p/4+a/2p)x1^2+p^3/4+ap-a^2-p^2/4
因为为定值 所以与x1无关
则1/辩闷16p-1/16p^4=0
-p/4+a/2p=0
解得p=1
a=1/2
所以存在这样的直线y=1/2