Question

已知函数f(x)=x^2+2xtanθ-1,其中θ∈(-π/2,π/2)

若 θ属于【-π/3，π/3】时，y=f(x)在[-1,√3]上的最小值为g（θ），求g（θ）的表达式

Answer 1

因为f(x)=x^2+2xtanθ-1 是一个开口向上的抛物线
所以f的最小值是f(-tanθ)
因为θ属于[-π/3，π/3],
所以当-tanθ属于[-1,√3]时，即θ属于[-π/3,π/4]时，
y=f(x)在[-1,√3]上的最小值为g(θ)=f(-tanθ)=-tanθ^2-1.
所以当-tanθ不属于[-1,√3]时，即θ不属于[-π/3,π/4]时，即θ属于(π/4,π/3]时
-tanθ属于[-√3，-1), 所以y=f(x)在[-1,√3]上的最小值为f(-1)=-2tanθ.
所以g(θ)=-tanθ^2-1.（θ属于[-π/3,π/4]）
g(θ)=-2tanθ.（θ属于(π/4,π/3]）。
g(θ)是一个分段函数。

Answer 2

因为f(x)=x^2+2xtanθ-1 是一个开口向上的抛物线
所以f的最小值是f(-tanθ)
因为θ属于[-π/3，π/3],
所以当-tanθ属于[-1,√3]时，即θ属于[-π/3,π/4]时，
y=f(x)在[-1,√3]上的最小值为g(θ)=f(-tanθ)=-tanθ^2-1.
所以当-tanθ不属于[-1,√3]时，即θ不属于[-π/3,π/4]时，即θ属于(π/4,π/3]时
-tanθ属于[-√3，-1), 所以y=f(x)在[-1,√3]上的最小值为f(-1)=-2tanθ.
所以g(θ)=-tanθ^2-1.（θ属于[-π/3,π/4]）
g(θ)=-2tanθ.（θ属于(π/4,π/3]）。
g(θ)是一个分段函数。