Question

一道高二数学题（请进！请详细说明！谢谢！）

如图所示,在四面体ABCD中,若棱CD=√2,其余各棱长都为1,试问:在这个四面体中，是否存在两个面互相垂直？证明你的结论。

Answer 1

解：本题证明 面面垂直 较好的方法是：
如果两个平面所成的二面角的平面角是90°，则这两个平面相互垂直。

对于 二面角的平面角 的理解： 两平面相交于一条交线，过交线上任一点分别在两平面内作垂直于交线的直线，则这两直线的夹角 即为二面角的平面角 。

在这个四面体D---ABC 中，存在两个面互相垂直，面ADC ⊥ 面BDC。证明如下：

由题意，在四面体D---ABC 中，棱CD=√2，
其余各棱长 AD = AC = AB = BC = BD = 1

∴ △ACD 是等腰直角三角形，且AD = AC = 1，CD = √2，∠DAC = 90°；
△BCD是等腰直角三角形，且BD = BC = 1，CD = √2，∠DBC = 90°；
△ABC 和 △ABD 均 是等边三角形，且边长均为1。

取DC的中点E，连AE、BE。
故在等腰直角△ACD中，AE是斜边CD上的高，AE = （1/2）× CD = √2 / 2。
在等腰直角△BCD中，BE是斜边CD上的高，BE = （1/2）× CD = √2 / 2。（等腰三角形 底边上的高 平分底边；直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半）

在△AEB 中，AE = √2 / 2， BE = √2 / 2， AB = 1
∵（√2 / 2）的平方 + （√2 / 2）的平方 = 1的平方
∴ AE的平方 + BE的平方 = AB的平方
∴ △AEB 是Rt△，且∠AEB = 90° 。

∵ 平面ADC ∩ 平面BDC = DC，点E在DC上，
又 ∵ EA ⊥ DC，且AE在平面ADC 内，
EB ⊥ DC，且BE在平面BDC 内，
即：过平面ADC 和 平面BDC 的交线DC上一点E 分别在平面ADC 和 平 面BDC内作交线DC的垂线 EA 和 EB，

∴ ∠AEB 就是平面ADC 与 平面BDC 所成的二面角的平面角。

而∠AEB = 90°，

∴平面ADC 与 平面BDC 所成的角为 90°

∴ 平面ADC ⊥ 平面BDC。

注：① 对于本题，您可以动手做两个等腰直角三角形纸板，在实际操作的基础上建立脑像；
② 注意正确作出 二面角的平面角（过两平面的交线上一点分别在两平面内做垂直于交线的直线）；
③ 掌握 证明面面垂直的方法 （ 本题用到的是： 如果两个平面所成的二面角的平面角是90°，则这两个平面相互垂直）。

祝您学习顺利！