Question

已知函数f(x)=(x2+mx+m)e^x 若函数存在极大值，并记为g（m),求g（m）表达式

Answer 1

已知m属于R,函数f(x)=(x^2+mx+m)e^x
(1)若函数f(x)没有零点,求实数m的范围
(2)若函数f(x)存在极大值,并记为g(m),求g(m)的表达式
(3)当m=0时,求证:f(x)大于等于x^2+x^3
解:(1).没有零点,必有△=m²-4m=m(m-4)<0, 即 0<m<4.
(2)令f′(x)=(2x+m)e^x+(x²+mx+m)e^x=[x²+(m+2)x+2m)e^x=0
由于e^x≠0,故必有x²+(m+2)x+2m=(x+2)(x+m)=0,于是得驻点x₁=-2; x₂=-m.
f〃(x)=(2x+m+2)e^x+[x²+(m+2)x+2m]e^x=[x²+(m+4)x+3m+2]e^x
由于f〃(-2)=[4-2(m+4)+3m+2]/e²=(m-2)/e², 当m<2时f〃(-2)<0,x=-2是极大点;
maxf(x)=f(-2)=(4-2m+m)/e²=(4-m)/e², (其中m<2)
(3)当m=0时,f(x)=x²e^x,由于F(x)=x²e^x-(x²+x³)=[e^x-(1+x)]x²≥0
当x=0时,F(0)=0, X≠0时,F(x)>0,这是因为y=1+x是y=e^x的切线,切点就是(0,1).且y=e^x是一条
向上凹的曲线,除去切点,其它点都在直线y=1+x的上方,故总有e^x-(1+x)≥0,又x²≥0,故必有
F(x)=x²e^x-(x²+x³)=[e^x-(1+x)]x²≥0,于是e^x≥x²+x³ 得证.