Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠B=90°，AB=BC，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点，P是BC边上一点，连接AD

Answer 1

先证明AD‖BC，再利用平行线的性质得出全等，根据全等的性质即可得出BQ=QR，BQ：QR=1．
解：∵△ABC内接于⊙O，∠B=90°，AB=BC，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点
∴四边形ABCD是正方形．
∴AD‖BC，
要使AP=BR，则必须△AQR≌△PQB
∴BQ=QR
∴BQ：QR=1．
本题综合考查了平行线的判定，及正方形的判定，及全等的判定及性质．

Answer 2

从题中可知有正方形ABCD
分两种情况：
①R在AD上：此时不难得出△ABP全等于△BAR，得出BQ/QR=1

②R在DC上：此时可知AP=BR=10，∠AQB=90度，使用两次射影定理求出AQ=32/5，PQ=18/5，在用一次射影定理求出BQ=24/5，减得QR=26/5，得出BQ/QR=12/13

Answer 3

证明AD‖BC，再利用平行线的性质得出全等，根据全等的性质即可得出BQ=QR，BQ：QR=1．
解：∵△ABC内接于⊙O，∠B=90°，AB=BC，D是⊙O上与点B关于圆心O成中心对称的点
∴四边形ABCD是正方形．
∴AD‖BC，
要使AP=BR，则必须△AQR≌△PQB
∴BQ=QR
∴BQ：QR=1．