Question

已知集合P=｛x|1/2≤x≤3｝，函数f（x）=㏒2 （ax2-2x+2）的定义域为Q

（1）若P∩Q=[1/2,2/3），P∪Q=（-2,3]，则实数a=？
（2）若P∩Q=?，则实数a的取值范围为？

Answer 1

已知集合P=｛x|1/2≤x≤3｝，函数f(x)=㏒_2 (ax^2-2x+2) 的定义域为Q，
（1）若P∩Q=[1/2, 2/3），P∪Q= (-2, 3]，则实数a=？
（2）若P∩Q=?，则实数a的取值范围为？

解：
第（2）问条件不清楚，无法考虑。
由P、Q的关系，结合P=[1/2, 3]，很容易得知，Q=(-2, 2/3)。
令g(x)=ax^2-2x+2，根据f(x)的定义，g(x)在(-2, 2/3)内恒为正。

此题可能有问题。函数f(x)的定义域为Q，并不意味着函数㏒_2 (ax^2-2x+2) 在集合Q外一定没有意义，比如，可以定义函数h(x)=|x| (-2<x<2)，其定义域规定为D1=(-2, 2)，但是并不能说|x|只在区间(-2, 2)内才有意义；至少我们可以定义函数h2(x)=|x| (-3<x<3)，其定义域规定为D1=(-2, 2)。
如果按照错误的理解解题——即认为㏒_2 (ax^2-2x+2) 在Q=(-2, 2/3)之外没有意义，
令g(-2)=0, g(2/3)=0，得，a=-3/2，
代入验证知a=-3/2符合题意。（验证步骤不能少）

按照正常的思路理解：
分三类情况讨论，
（1）a>0时，g(x)在(-2, 2/3)内恒为正，根据对称轴的位置分两种情形。
①对称轴在区间(-2, 2/3)的左侧，
a>0；
1/a<-2;
g(-2)>0;
显然，此不等式组无解。
②对称轴在区间(-2, 2/3)的右侧，
a>0；
1/a>2/3;
g(2/3)>0;
解之得：0<a<3/2。

（2）a<0时，g(x)=0的两根都在区间(-2, 2/3)的两侧，即：
a<0;
g(-2)>0;
g(2/3)>0;
解之得：-3/2<a<0。

（3） a=0时，g(x)=-2x+2，在Q=(-2, 2/3)内显然恒为正。

综上所述，a的取值范围是（-3/2， 3/2）。