Question

若函数y=x^3/3+(ax^2)/2-bx(a,b∈R)在区间[-1,3]上单调递减，求a^2+b^2的最小值

Answer 1

f(x)=x^3+ax^2+bx+c在区间[-1,0]上是单调递减函数，
则f′(x)=3x^2+2ax+b在区间[-1,0]上恒小于等于0，
画出二次函数3x^2+2ax+b的图像，可知：f′(-1) ≤0，f′(0) ≤0，
即3-2a+b≤0,b≤0.……（*）
以a为横轴，b为纵轴画出直角坐标系，
（*）式表示的可行域是直线3-2a+b=0右下方和b=0(即y轴)的下方的公共部分，
√(a^2+b^2)表示原点到可行域的距离，最小值是原点到直线-2a+b+3=0的距离，
为3/√5，∴a^2+b^2的最小值为9/5.