Question

g(x)=ax^2-2ax+1+b,在区间[2,3]上有最大值4，最小值1

g(x)=ax^2-2ax+1+b,在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设f(x)=g(x)/x。1）求a，b的值2）不等式f(2^x)-k2^x>=0在[-1,1]上恒成立，求实数k的范围3）方程f(abs(2^x-1))+k[(2/abs(2^x-1))-3]=0，有三个不同的实数解，求k的范围

谢谢 在线等

Answer 1

解： g（x）=a（x²-2x+1）-a+1+b=a（x-2）²+b+1-a
∵a≠0
∴函数图像的对称轴为 x=1 顶点（1，b+1-a）
在区间[2,3]上
当a＜0时 g（max）=g（1）=b+1-a=4 g（min）=g（3）=3a+1+b=1
得 a=-3/4 b=9/4
当a＞0时 g（max）=g（3）=3a+1+b=4 g（min）=g（1）=b+1-a=1
得 a=3/4 b=3/4
2）f（x）=g(x)/x=ax-2a+（1+b）/x
设t=2^x x∈【-1,1】 所以t∈【1/2,2】
F（t）=at+（1+b）/t-2a-kt
当F（t）≥0时k≤a+（1+b）/t²-2a／t 在t∈【1/2,2】恒成立
当a=-3/4时 k≤-3/4+13/4t²+3/2t k为减函数
所以 k≤-3/4+13/（4*2²）+3/4=13/16
当a=3/4时 k≤3/4+7/4t²-3/2t
k'=-7/2t³+3/2t²=(3-7/t)/2t²
当t＜7/3时 k是增函数
所以 k≤-3/4+7/4（1/2）²-3/2（1/2）=-3/4+7-3=13/16
综上所述 k≤13/16
3）设t=2^x-1
2^x-1≠0即x≠0 求出t的范围 为 [-1,0)∪（0，+∞）
代入等式 在t∈[-1,0) 内 要有三个不同的解 剩下的和第二问差不多

Answer 2

解：（1）g（x）=ax2-2ax+1+b，函数的对称轴为直线x=1，由题意得：
①

a＞0g(2)=1+b=1g(3)=3a+b+1=4
得

a=1b=0
②

a＜0g(2)=1+b=4g(3)=3a+b+1=1
得

a=-1b=3＞1
（舍去）

∴a=1，b=0…（4分）
∴g（x）=x2-2x+1，f(x)=x+
1
x
-2…（5分）

（2）不等式f（2x）-k•2x≥0，即k≤(
1
2x
)2-2•(

1
2x
)+1…（9分）

设t=
1
2x
，∴t∈[

1
2
，2]，∴k≤（t-1）2

∵（t-1）2min=0，∴k≤0…（11分）
（3）f（|2x-1|）+t•（

4
|2x-1|
-3）=0，即|2x-1|+

1
|2x-1|
+

4t
|2x-1|
-3t-2=0．

令u=|2x-1|＞0，则 u2-（3t+2）u+（4t+1）=0…（①…（13分）
记方程①的根为u1，u2，当0＜u1＜1＜u2时，原方程有三个相异实根，
记φ（u）=u2-（3t+2）u+（4t+1），由题可知，
φ(0)=4t+1＞0φ(1)=t＜0
或

φ(0)=4t+1＞0φ(1)=t=00＜3t+22＜1
．…（16分）

∴-
1
4 ＜t＜0时满足题设．…（18分）

Answer 3

我也才做了第一问。
当a＞0时，a=1,b=0
当a＜0时，a=-1,b=3
第二题k≤1/4

Answer 4

两人都错
第一题a=1,b=0