Question

在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，过O作OD⊥AB交AB于点D，O左侧有点E使得OE=OD

在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，过O作OD⊥AB交AB于点D，O左侧有点E使得OE=OD，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。
求：（1)设OA=x.AP=y,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当BF=1时，求线段AP的长

Answer 1

梦中的恋人，你好：

解： ∵OD=OE ∴∠ODE=∠OED
∵OD⊥AB DE⊥PE
∴∠ADE=∠AEP
又∠DAE=∠BAE
∴△ADE∽△AEP
（1）
AP/AE=AE/AD=EP/DE
在Rt△ADO中： 令OD=3m， 则AD=4m AO=5m=x m=x/5
AE=AO+OE=AO+OD=5m+3m=8m
∴y/（8m）=（8m）/（4m）
Y=16m=16x/5
AC=5 0≤x≤5
（2）：
∵AP/AE=AE/AD=EP/DE=y/8m=(16m)8m=1/2
显见Rt△FPB∽Rt△DPE
∴FB/PB=DE//PE=2 ;1=1/PB PB=1/2
AB=AP+PB=4 AP=7/4

Answer 2

∵OD=OE ∴∠ODE=∠OED
∵OD⊥AB DE⊥PE
∴∠ADE=∠AEP
又∠DAE=∠BAE
∴△ADE∽△AEP
（1）
AP/AE=AE/AD=EP/DE
在Rt△ADO中： 令OD=3m， 则AD=4m AO=5m=x m=x/5
AE=AO+OE=AO+OD=5m+3m=8m
∴y/（8m）=（8m）/（4m）
Y=16m=16x/5
AC=5 0≤x≤5
（2）：
∵AP/AE=AE/AD=EP/DE=y/8m=(16m)8m=1/2
显见Rt△FPB∽Rt△DPE
∴FB/PB=DE//PE=2 ;1=1/PB PB=1/2
AB=AP+PB=4 AP=7/4

Answer 3

情况1,
半圆O的半径R较小时,EP交AB于点P，P在AB之间;交CB延长线于点F,F在B的左侧:
半圆O与边AB相切与点D,∠ADO=90度,
∠ODE=∠OED,[因为DO=EO=R],
∠ODE+∠EDP=∠OED+∠CEF=90度
所以∠EDP=∠CEF,
直角△PBF∽△PED,(AAA),
所以∠BFP=∠EDP,
故∠BFP=∠CEF,
因此CF=CE,CE=CF=CB+BF=3+1=4,
作EG垂直BC,交BC于G,
直角△EGC∽△ABC,(AAA),
EG:AB=EC:AC,
EG=4*4/5=16/5,
同理,CG=12/5,
FG=FB+BG=FB+BC-CG=1+3-12/5=8/5,
直角△PBF∽△EGF,(AAA),
PB:EG=FB:FG,
PB=(16/5)/(8/5)=2,
AP=AB-PB=4-2=2;

情况2,
半圆O的半径R较大时,EP交AB延长线于点P，P在B下方;交BC于点F,F在BC之间:
与情况1类似过程,
可以得
CF=CE,CE=CF=BC-BF=3-1=2
EG=8/5,
CG=6/5,
FG=FC-CG=2-6/5=4/5,
PB:EG=FB:FG,
PB=(8/5)/(4/5)=2,
AP=AB+PB=4+2=6;