Question

设函数f(x)=1-e^-x 设当x>=0时,f(x)<=X/(ax+1),求a的取值范围

Answer 1

由题意x≥0，此时f（x）≥0
当a＜0时，若x＞-1/ a ，则x /(ax+1) ＜0，f（x）≤x/( ax+1) 不成立；
当a≥0时，令h（x）=axf（x）+f（x）-x，则
f（x）≤x /(ax+1) 当且仅当h（x）≤0
h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）-1=af（x）-axf（x）+ax-f（x）
（i）当0≤a≤1 /2 时，由（1）知x≤（x+1）f（x）
h'（x）≤af（x）-axf（x）+a（x+1）f（x）-f（x）
=（2a-1）f（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤x/( ax+1)
（ii）当a＞1 /2 时，由（i）知x≥f（x）
h'（x）=af（x）-axf（x）+ax-f（x）≥af（x）-axf（x）+af（x）-f（x）=（2a-1-ax）f（x）
当0＜x＜(2a-1 )/a 时，h'（x）＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＞h（0）=0，即f（x）＞x /(ax+1)
综上，a的取值范围是[0，1 /2 ]
写完不容易啊，望楼主采纳啊。

Answer 2

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