Question

请用导数求极值

一根三米长的绳子，被剪程三段，每两段的长度相乘后，再相加。
求相加后的最大值。

请用导数解答。

其他方法就不必了！！谢谢，谢谢，不要来凑热闹。
谢谢一楼，不求二阶偏导，如何得知：
1、能不能判断有极值还是无极值？
2、有极大值，还是有极小值？

Answer 1

解：设被剪成三段的长分别是x米，y米，z米。则x+y+z=3。
于是，两两相乘再相加，得L=xy+xz+yz
设F=xy+xz+yz+λ(x+y+z-3)
令Fx'=y+z+λ=0 (Fx'表示关于x的偏导数).........(1)
Fy'=x+z+λ=0 (Fy'表示关于y的偏导数).........(2)
Fz'=x+y+λ=0 (Fz'表示关于z的偏导数)..........(3)
Fλ'=x+y+z-3=0 (Fλ'表示关于λ的偏导数)..........(4)
解方程组(1),(2),(3),(4)得 x=y=z=1
∴L=xy+xz+yz=3
故两两相乘再相加后的最大值是3。

Answer 2

S=AB+BC+AC
A+B+C=3
得到：S(A,B)=3A+3B-AA-BB-AB(就是消去C)
（以下S_A表示S对A的偏微分，S_B表示S对B的偏微分）
可知:
S_A=3-2A-B
S_B=3-2B-A
令S_A=0,S_B=0；
得到
2A+B=3
2B+A=3
由A+B+C=3
可知S在A=1,B=1,C=1处取得一个极值，叫S极。
任取(A,B,C)≠(1,1,1)（0<A,B,C<3）的一点计算S，发现大于S极，说明S极是极小值。
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我就没求二阶偏导啊，当然求一下更正规。
如果使得两个维度的偏导为0组成的方程有解，就说明有极值。（但无解并不表示极值不存在）
如果极值点只有一个，只要在极值点外任选一点和极值点处的函数值进行比较久行了。
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heanmen的解是求条件极值的正规方法，请采纳他的免得我教坏小朋友，呵呵。