Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过原点O和x轴上的另一点A，它的对称轴是直线x=2于x轴交于点C

已知二次函数y=ax²+bx+c的图像经过原点O和x轴上的另一点A，它的对称轴是直线x=2于x轴交于点C，直线y=2x+1经过抛物线上一点B（-2，m），且与y轴、直线x=2分别交于D、E。若点（x、y）是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P，使得△PBE是以PE为腰的等腰三角形。若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

求出二次函数解析式：
y=-1/4x^2+x
B（-2,-3）D（0,1）
对称轴:x=2
抛物线的对称轴上存在这样的点P，使得△PBE 是以PE为腰的等腰三角形
设点P(2,a);B（-2,-3）;D（0,1）
由两点间距离公式
解得
当PE=BE时，P（2,5+4√5）或 P（2,5-4√5）
当PE=PB时, P（2，0)

Answer 2

y=ax²+bx+c的图像经过原点O和x轴上的另一点A，它的对称轴是直线x=2
∴A(4,0) O(0,0) 直线y=2x+1经过抛物线上一点B（-2，m）， B(-2,-3)
∴解析式为;y=-0.25x^2+x D(0,1),E(2,5) 若PE=BE P(2,5-4√5)
若PE=PB P(2,0)

Answer 3

直线y=2x+1经过点B（-2，m)，得到m=-3，即B（-2，-3）；
二次函数y=ax²+bx+c的图像经过原点O，得到c=0；
抛物线的对称轴是x=2，得到 -b/2a=2 b=-4a；
点B在抛物线上，得到 -3=4a-2b
所以 a=-1/4 b=1
二次函数的解析式为 y=-1/4x^2+x
直线y=2x+1与y轴的交点D（0，1），与直线x=2的交点E（2，5）
P（2，5+2根号5），P（2，5-2根号5），P（2，12/5）