Question

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM=BN，联结MN交边AB于点P

（1） 求证：MP=NP
（2） 若设AM=x, BP=y,求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域。
（3） 当△BPN是等腰三角形时，求AM的长。

Answer 1

（1）过M向AB引垂线，垂足E，过N向AB的延长线引垂线，垂足F

易知△ABC等腰直角三角形，∠A=∠CBA=∠NBF=45°

MP=ME/sin∠MPA=AM*sin45°/sin∠MPA

NP=NF/sin∠NPB=BN*sin45°/sin∠NPB

其中∠MPA=∠NPB，AM=BN

MP=NP

（2)由图可知，

y=BP=AB/2-BF=AB/2-ME=AB/2-AM*sin45=AB/2-x*sin45

y=2√2－x/√2,

由于AC=4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），

x∈（0，4）

（3）△BPN是等腰三角形即BP=BN=AM,也就是x=y，AM的长就是x

于是（2）的函数关系式变成x=2√2－x/√2

求得x=4/（1+√2）