Question

两道高中数学题，要过程

1：在△abc中,cosa=3/5.tanb=2.求sin2(a+b)
2：已知α，β为锐角，sinα=2/3,cos(α-β)=4/5,求cosβ

Answer 1

1：在△ABC中,cosA=3/5.tanB=2.求sin2(A+B)
解:∵A,B是三角形的内角,又cosA=3/5>0, tanB=2>0,∴A,B都是锐角.
由cosA=3/5,得sinA=4/5; 由tanB=2.得sinB=2/√5=(2/5)√5, cosB=1/√5=(1/5)√5.
故sin2(A+B)=2sin(A+B)cos(A+B)
=2(sinAcosB+cosAsinB)(cosAcosB-sinAsinB)
=2[(4/5)×(√5/5)+(3/5)×(2√5/5)][(3/5)×(√5/5)-(4/5)×(2√5/5)]
=2×(2√5/5)×(-√5/5)=-4/5.
2：已知α，β为锐角，sinα=2/3,cos(α-β)=4/5,求cosβ
解:由sinα=2/3,得cosα=(√5)/3,
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(√5/3)cosβ+(2/3)sinβ=4/5
(2/3)sinβ=4/5-(√5/3)cosβ
两边平分之,得:
(4/9)sin²β=16/25-(8√5/15)cosβ+(5/9)cos²β
(4/9)(1-cos²β)=16/25-(8√5/15)cosβ+(5/9)cos²β
化简得: cos²β-(8√5/15)cosβ+54/225=0
故cosβ=(4√5±3√3)/15.