Question

关于导数的数学问题

已知函数f(x)=lnx-ax，g(x)=f(x)+f'(x)，其中a＞0

（I）若当1≤x≤e时，函数f(x)的最大值为-4，求函数f(x)的表达式；

（II）求a的取值范围，使得函数g(x)在区间（0，+oo）上是单调函数；

Answer 1

(1)分类讨论：显然f'(x)=1/x-a
（1）当a<1时，解f'(x)>0得0<x<1/a,再分两种情况：一，当0<a<=1/e时，e<1/a,此时在[1,e]上单调递增。f(e)=-4,解得a=5/e(舍).二、当1/e<a<1时，即1/a<e，此时f(1/a)=-4，解得a=e的3次方（舍）
（2）当a>=1时，1/a<=1此时f(1)最大，f(1)=-a=-4，得a=4.
第(2)问，g(x)=lnx-ax+1/x-a.于是g'(x)=1/x-a-1/(x平方）=【1/（x平方）】*(x-1-a倍的x方）。显然1/（x平方）>0，于是只需h(x)=x-1-a倍的x方在（0，+oo）上恒非正即可。（开口向下不可能恒非负），又抛物线x-1-a倍的x方的对称轴x=1/2a>0,于是只需h(1/2a)<=0即可，解得a>=1/4