Question

高一函数题，在线等。。。

已知二次函数,f(x)=ax^2+bx+c.
1.若a>b>c,且f(1)=0，试证明f(x)必有两个零点。
2.若对x1,x2∈R且x1<x2,f(x1)不等于f(x2),方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于（x1,x2).
过程要详细点，谢谢，新年快乐

Answer 1

1.反证法，因为f(1)=0，则f(x)至少有1个零点，如果只有一个零点，则f(x)=a(x-1)^2，则b=-2a,c=a,即a>-2a>a,错误。则证明f(x)必有两个零点
2.f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根，则函数g(x)=f(x)-1/2[f(x1)+f(x2)]与x轴有两个交点。
而g(x1)=f(x1)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x1)-f(x2)]，g(x2)=f(x2)-1/2[f(x1)+f(x2)]=1/2[f(x2)-f(x1)]
g(x1)=-g(x2)，而因为f(x1)不等于f(x2)，所以g(x1)不等于0
则g(x1)和g(x2)分布于x轴两侧，则函数g(x)必交x轴于(x1,x2)，即方程f(x)=1/2[f(x1)+f(x2)]必有一实根属于(x1,x2)