Question

一道高中数学题，在线求解

求f（x）=（1-sinx）^1/2+（1+sinx）^1/2
值域周期单调性
要详解
周期的求法可以麻烦也写上么，
这题 我知道答案，解答过程不知道怎么写
麻烦把周期求法写上
3q了

Answer 1

解：∵对任意实数x,恒有1-sinx≥0,且1+sinx≥0.
∴恒有√（1-sinx）≥0且√（1+sinx）≥0.
∴恒有f(x)= √(1-sinx)+ √(1+sinx) ≥0.
两边平方，可得：f²(x)=(1-sinx)+2√[(1-sinx)(1+sinx)]+(1+sinx)
=2+2√(1-sin²x)=2+2√cos²x
=2+2|cosx|
∴f(x)= √(2+2|cosx|).
【1】易知，对任意实数x,恒有0≤|cosx|≤1.
∴2≤2+2|cosx|≤4.
∴√2≤√(2+2|cosx|)≤2.即：√2≤f(x) ≤2.
∴函数值域为[√2,2].
【2】易知，对任意实数x,恒有：|cos(π+x)|=|cosx|
∴恒有f(π+x)=f(x).
∴函数f(x)的周期是π.
【3】数形结合可知，
在区间[kπ+(π/2),kπ+π]上，函数递增。
在区间[kπ,kπ+(π/2)]上，函数递减。

Answer 2

sinx=2sin(x/2)cos(x/2) 二倍角公式
所以 f(x)=|sin(x/2)-cos(x/2)|+|sin(x/2)+cos(x/2)|
当 2kπ+π/4<= x/2 <=2kπ+5π/4 时，sin(x/2)=>cos(x/2)
所以 f（x）=2sin(x/2)
当 2kπ+5π/4<= x/2 <=2kπ+9π/4 时，sin(x/2)<=cos(x/2)
f(x)=2cos(x/2)
所以 T=4π 值域为 [-根号下2,2] 单调增区间 自己去看图像总结吧，一定要把分段函数的图像画出来你猜知道为什么值域是这个样子的，单调区间是多少！

Answer 3

f（x）恒非负，所以f(x)=根号【f(x)的平方】=根号｛1-sinx+1+sinx+2*根号【（1-sinx）（1+sinx）】｝=根号【2+2*绝对值（cos x）】
（1）因为cos x属于【-1，1】，2+2*绝对值（cos x）属于【2，4】，所以值域【根号2，2】
（2）cos x周期2pi，绝对值（cos x）周期pi，f(x)周期pi
（3）绝对值（cos x）在【kpi,(k+1/2)pi】上减，在【(k+1/2)pi,(k+1)pi】上增，所以f（x）在【kpi,(k+1/2)pi】上减，在【(k+1/2)pi,(k+1)pi】上增。