Question

如图，已知抛物线y=x2+bx-3a过点A（1,0），B(0,-3),与x轴交于另一点C

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在第三象限的抛物线上存在点P，使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）把 x = 1 y = 0 代入 y=x2+bx-3a 得：1 + b -- 3a = 0
把 x = 0 y = -- 3 代入 y=x2+bx-3a 得：-- 3a = -- 3
∴ b = 3a -- 1 = 3 -- 1 = 2
∴抛物线的解析式为：y = x2 + 2x -- 3
( 把--3a看作 整体，不必专门求a值)

（2）把抛物线的解析式变为：y = （x -- 1）（x + 3）
令（x -- 1）（x + 3）= 0 得抛物线与x轴的另一交点C坐标为：（--3 ， 0）
把把抛物线的解析式变为：y =（x + 1）2 -- 4
知 抛物线de对称轴为 x = -- 1， 最小值为 -- 4，顶点坐标为：N （--1， -- 4）。

∵ C坐标为（--3， 0）、B坐标为（ 0， --3）
∴ △OBC是等腰直角三角形，且斜边BC=3√2， 则BC的平方= 18。

∵ N坐标为（--1， -- 4）、B坐标为（ 0， --3），作NH ⊥ y轴于H，
则 △BNH 是等腰直角三角形，且斜边BN=√2， 则BN的平方= 2。

设 对称轴 x = -- 1 与 x轴交于点M，则MC=2，MN=4.
在Rt△MCN 中，NC的平方 = MC的平方 + MN的平方
∴ NC 的平方 = 20

又 ∵ BC的平方 + BN的平方 = 18 + 2 = 20
∴ BC的平方 + BN的平方 = NC 的平方
∴ △BCN 是Rt△，且是以点B为直角顶点的直角三角形。
∴满足题意的 点P的位置应在点N处，此时点P的坐标为（-- 1， -- 4）.。

（3）在（2）的条件下，在抛物线上存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形，满足题意的点Q坐标为（-- 2， -- 3）。

我们知道，两直线 y1 = k1 x + b1 与 y2 = k2 x + b2 平行的时候，k1 = k2。
∵C坐标为（--3， 0）、B坐标为（ 0， --3）
∴ 易求得 直线BC的解析式为：y = -- x -- 3。
过P（-- 1， -- 4）作 直线BC的平行线并设其解析式为y = -- x + b
求直线BC 与 抛物线 的交点，
需联立方程组y = -- x + b
y = x2 + 2x -- 3

解得： x = -- 2 ，y = -- 3 （另一组解x= --1，y= -- 4 表示P点坐标）
∴满足题意的点Q坐标为（-- 2， -- 3）。

注：第三问，题目让求作“直角梯形”，注意从∠CBP = 90° 进行突围！
第三问，满足题意的点Q 只有以上一种情形。

Answer 2

(1)将A、B两点代入得抛物线解析式为y=x方+2x-3
(2)由（1）得C（-2,0），所以直线BC的斜率是-3/2，所以CP斜率是2/3，所以CP方程是y=2x/3-3,和抛物线方程联立得P(-4/3，-35/9)
(3)显然BC与PQ平行，所以PQ方程：y+35/9=-3/2(x+4/3),和抛物线方程联立得Q（-13/6，-95/36）

Answer 3

我给你们个网址，你们去看12页26题 http://wenku.baidu.com/view/70a17f28915f804d2b16c161.html