Question

已知数列{an}的前n项和Sn，满足Sn-Sn-1=√Sn+√S（n-1）。a1=1

已知数列{an}的前n项和Sn，满足Sn-Sn-1=√Sn+√S（n-1）。a1=1
（1）证明；数列{√Sn}是等差数列。并求数列{an}的通项公式。
（2）若bn=1／[an×a（n+1）]。Tn=b1+b2+····bn。求证；Tn＜1／2.

Answer 1

(1)
Sn-Sn-1=√Sn+√S（n-1)
(√Sn+√S(n-1))(√Sn-√S(n-1))=√Sn+√S（n-1)
所以√Sn-√S(n-1)=1
所以数列{√Sn}是等差数列,公差是1
√Sn=√S1+(n-1)d=√a1+(n-1)*1=1+(n-1)=n
Sn=n^2
S(n-1)=(n-1)^2
Sn-S(n-1)=an=n^2-(n-1)^2=2n-1
所以an=2n-1

(2)
bn=1/[an*a(n+1)]=1/(2n-1)*(2n+1)=1/2*(1/(2n-1)-1/(2n+1))
Tn=b1+b2+.....bn
=1/2(1/1-1/3)+1/2(1/3-1/5)+...........+1/2(1/(2n-1)-1/(2n+1))
=1/2(1-1/3+1/3-1/5+........+1/(2n-1)-1/(2n+1))
=1/2(1-1/(2n+1)
=1/2*2n/(2n+1)
=n/(2n+1)=1/(2+1/n)
因为 0<1/n
2<2+1/n
1/(2+1/n)<1/2
即
Tn<1/2