Question

设函数f(x)=ax^3+bx^2-3a^2x+1(a、b∈R)在x=x1,x=x2处取最值,且|x1-x2|=2,若a>0，求b 的取值范围

设函数f(x)=ax^3+bx^2-3a^2x+1(a、b∈R)在x=x1,x=x2处取最值,且|x1-x2|=2,若a>0，求b
的取值范围

Answer 1

分析：考察导数+不等式，f(x)=ax^3+bx^2-3a^2x+1求导得f'(x)=3ax^2+2bx-3a^2,判别式=4b^2+36a^3>0,又f(x)在x1,x2处取得最值。得f'(x)=0,有两根。且x1+x2=-2b/(3a),x1x2=-a<0,不防设x1<x2,得x1<0<x2,|x1-x2|=x2-x1=[(x1+x2)^2-4x1x2]^0.5=2,即4b^2/(9a^2)+4a=4,得到（a<=1）,b^2=9(1-a)a^2=36(a/2)(a/2)(1-a)<=36[((a/2)+(a/2)+(1-a))/3]^3=36/27=4/3,（当仅当1-a=a/2,即当a=2/3取等号）于是解得b的取值范围：-2/3^0.5<=b<=2/3^0.5.

Answer 2

f'(x)=3ax^2+2bx-3a^2
令f'(x)=3ax^2+2bx-3a^2=0
德尔塔=4b^2+36a^3>0①
x1+x2=-2b/3a x1x2=-a
|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4bb/9aa+4a=4②
结合①②
得bb=9aa(1-a)≤36[（a/2+a/2+1-a)/3]^3=4/3
当且仅当a=2/3时取等号
所以 -2/√3≤b≤2/√3

Answer 3

求导，用条件及韦达定理可得a，b关系，再b=f（a）以及a>0即可