Question

帮忙做一道万有引力的题,谢谢！

某球形天体的固体组成部分的密度ρ0，半径为R，自转角速度为ω，表面空间分布着厚度为R的气体，其平均密度为ρ，已知一个质量分布均匀的球体或球壳对其外部物体产生的引力符合万有引力定律，球壳对内部物体的引力为零，引力常量为G.问 （1）该天体固体表面的重力加速度g为多少？ （2）要发射一颗同步卫星，其距固体表面的高度h为多少？（假设h>R)

Answer 1

1）由于球壳对内部物体的引力为零，在星球表面的物体不受大气引力
mg=GM球m/R^2 g=GM球/R^2
M球=4/3πR^3*ρ0 代入上式g=4/3πRρ0G
2)同步卫星所受的引力由大气和固体组成部分提供
两者重心就是星球球心
M气=4/3π{（2R)^3-R^3}*ρ=28/3πρR^3
M=M气+M球
同步卫星的运行角速度也是ω
GMm/（R+h）^2=mω^2*（R+h）
h你就自己解，行吗？
OK

Answer 2

该天体固体表面的重力加速度g不考虑气体层影响，理由为“一个质量分布均匀的球壳对内部物体的引力为零，”
有mg=GmM/R^2 其中M=ρ0V=ρ0*4∏R^3/3
所以g=4∏Rρ0G/3
(2) 要发射一颗同步卫星 则 m（R+h)ω^2=GmM/(R+h)^2 其中M=ρ0V=ρ0*4∏R^3/3
ω^2=GM/(R+h)
(R+h)ω^2=GM=Gρ0*4∏R^3/3
(R+h)=GM=Gρ0*4∏R^3/3ω^2
h=GM=4∏Gρ0R^3/3ω^2 +R

Answer 3

解：F=GMm/(R*R)=mg M=（4/3）πρ0R*R*R 解得g=（4/3）πρ0RG
此时万有引力提供向心力但此时卫星受到的外有引力还需加上气体部分引力。
气体部分引力： F1=GM1m/(R*R)=mg M1=（4/3）πρ（2R*2R*2R-R*R*R）
F1+F=mg1
g1=rωω=（R+h）ωω
解上式可求得h