Question

已知ABCD是矩形，AD=4，AB=2，E、F分别是AB、BC的中点，PA⊥平面ABCD。

求 1）证明PF⊥FD 2）在PA上是否存在一点G，使得EG‖平面PFD

Answer 1

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立直角坐标系。设P的坐标为(0,0,z)
（1）容易看出F坐标为（2,2,0)，D坐标为(0,4,0)，所以向量FP为（-2，-2，z），FD为（-2，4，0），两个向量内积为0，所以PF⊥FD
（2）容易验证向量n=(-2z,-z,-6)与向量FP、FD都垂直。所以要求EG‖平面PFD，只要EG⊥n。
设G坐标为（0，0，g），容易求得g=z/3，即G存在，是PA的两个三等分点中靠近A的那个。