Question

过椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>1)的顶点B（0，-1）做椭圆的弦AB，求绝对值AB的最大值并求此时的A的坐标

过椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>1)的顶点B（0，-1）做椭圆的弦AB，求绝对值AB的最大值并求此时的A的坐标

Answer 1

设点A坐标为：（acosθ，sinθ),则
|AB|=√[(acosθ-0)^2+(sinθ+1)^2]
=√[a^2cos^2θ+sin^2θ++2sinθ+1]
=√[a^2(1-sin^2θ)+sin^2θ++2sinθ+1]
=√(1-a^2)sin^2θ+2sinθ+a^2+1]
=√(1-a^2)[sinθ-1/（a^2-1)]^2-1/(1-a^2)+a^2+1]
∵a>1
对a讨论：1)1<a<√2时,1/（a^2-1）>1，当sinθ=1时，|AB|取得最大值，
最大值=2,此时的A的坐标为：（0，1）
1)a≥√2时,0<1/（a^2-1）≤1，当sinθ=1/（a^2-1）时，|AB|取得最大值，
最大值=a^2/√(a^2-1)，此时的A的坐标为：（±a√(a^4-2a^2)/(a^2-1)，1/(a^2-1)）