Question

已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x (1) 若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a); (2)设有且

Answer 1

(1) f(2)=3,
在f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x2+x中代入2,有
f(3-4+2)=3-4+2
即得f(1)=1.
若f(0)=a,在f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x2+x中代入x=0,有:
f(a-0+0)=a-0+0,
即得:f(a)=a.
(2)令f(m)=m,
n
必是:f(x)-x^2+x=m,
再由f(m)=m,得:m-m^2+m=m,
即:m^2-m=0, 得:m=0,或m=1

即f(x)=x^2-x+1 (1)
或f(x)=x^2-x. (2)
但(2)不满足唯一性,因为有
f(0)=0,及f(2)=2.
故满足条件的函数只有:f(x)=x^2-x+1