Question

设函数f(X)=x^2+bx+c,x∈[-m,m]，m为正常数。1.用定义证明:当b<-2m时,f(x)为减函数。

2.当b<-2m时，在[-m,m]上必存在x，使得|f(x)|≥m|b|成立

Answer 1

设m>=x1>x2>=-m
则 f(x1)-f(x2)=x1^2+bx1+c-(x2^2+bx2+c)=(x1-x2)(x1+x2+b)
x1>x2，所以 x1-x2>0
x1<=m
x2<m
所以 x1+x2<2m
所以 x1+x2+b<x1+x2-2m<0
即 f(x1)<f(x2)，而 x1>x2，所以f(x)是减函数。

（2）当 b<-2m时
用反证法，假设不存在x使得 |f(x)|>=m|b|，则对所有的 x都有
|f(x)|<m|b|
即 -m|b|<f(x)<m|b|
因b<-2m时f(x)单调，这样就有
-m|b|<f(-m)<m|b|
-m|b|<f(m)<m|b|
这样 |f(-m)-f(m)|<2m|b|
而同时，我们有 f(m)-f(-m)=m^2+bm+c-(m^2+bm+c)=2mb
矛盾。
所以，在[-m,m]上必存在x,使得 |f(x)|>=m|b|成立