Question

过椭圆C x^2/8+y^2/4=1上一点P(X0,Y0)向圆Ox^2+y^2=4引两条切线PA PB AB为切点 AB与x轴 y轴交于MN 要过程

1.若向量PA*向量PB=0 求P坐标
2.求AB方程（用x0 y0表示）
3.求三角形MON面积的最小值

Answer 1

1.由题意向量PA和向量OB均不为零向量
所以PA⊥PB，因此OA⊥OB，又因为OA=OB
所以四边形OAPB是正方形
因此PO²=x0²+y0²=8①
而点P在椭圆上.所以x0²+2y0²=8②
由①②得x0=±2根号2 y0=0
所以P（±2根号2,0）
2.首先求过圆O上任意点的切线方程.事实上，设圆O上一点（x3,y3）与圆心连线斜率为y3/x3.（先假设斜率存在）.则切线斜率为-x3/y3.所以切线方程为x3x+y3y=4.容易证明当与圆心连线斜率为0或不存在时也满足此方程.下面回到原题
设A（x1，y1）B（x2，y2）
则过A,B切线方程分别为x1x+y1y=4 x2x+y2y=4
因此都过P（x0，y0).所以有x1x0+y1y0=4 x2x0+y2y0=4
可见，直线x0x+y0y=4过A，B两点.由两点决定一条直线可知
直线AB方程为x0x+y0y=4
3.不难求得M（4/x0,0) N(0,4/y0)
再令x0=2根号2sinα，y0=2cosα
所以S△OMN=2根号2/|sin2α|
而|sin2α|最大值为1
所以△OMN面积最小值为2根号2