Question

如图所示，在三角形ABC中，AD为BC中线，E为AC上一点，BE与AD交于F,若∠FAE=∠AFE，求证：AC=BF.

Answer 1

延长AD至点G，使得：BG = BD ；
则有：∠BGD = ∠BDG = ∠ADC 。

在△ACD和△FBG中，∠CAD = ∠AFE = ∠BFG ，∠ADC = ∠BGD ，CD = BD = BG ，
所以，△ACD ≌ △FBG ，
可得：AC = BF 。

Answer 2

解：如图取DG=AD 连接BG

因为AD为△ABC的中线

所以BD=DC

因为角BDG=角CDA(对顶角相等）

所以在△BDG与△CDA中

BD=DC

角BDG=角CDA

AD=DG

所以△BDG全等△CDA

所以AC=BG 角G=角CAD

又因为AE=EF

所以角CAD=角AFE

因为角AFE=角BFD

所以角CAD=角BFD（等量代换）

又因为角G=角CAD

所以角G=角BFD（等量代换）

所以AC=BF（等边对等角）。